亚洲第一体育

 


他站在一个高处,看着更高的高度 吉祥坊网址
他的作品在20世纪数学的发展中发挥了基础性作用,他的最终着作正在成为本世纪数学的灵感来源

 

我们对无限的早期方法

在一个奇妙的边缘日出辉煌

虽然仍然看不到辉煌的太阳。

现在我们看到的是必须要发生的事情。

斯里奥罗宾多,萨维特里1.4

Srinivasa Ramanujan的故事是一个20世纪的“数学富贵”故事。在他短暂的一生中,拉马努扬拥有丰富的思想,改变和重塑了20世纪的数学。这些想法继续影响着21世纪的数学。本文试图全面地看到他的重要贡献。

1887年12月22日出生在泰米尔纳德邦埃罗德镇,拉马努詹在很大程度上是自学成才,从极度贫困中脱颖而出,成为20世纪最有影响力的数学家之一。这种转变是如何发生的?虽然很难确定这种转变的确切原因,但人们可以在他的生活中勾画出几件重要的事件,使事情得以实现。

Ramanujan单独培养了他对数学的热爱,并完全孤立。作为一个孩子,他很安静,经常保持自我。那些认识他的人对他闪亮的大眼睛留下了深刻的印象,这是他最突出的特点。他有一个惊人的记忆,在学校他会通过背诵梵文根的各种变化来重新招待他的朋友,并通过重复常数’pi’的值到任意小数位数。这是预示未来的预兆,因为后期他会写一篇巨大的论文,将“pi”数字的计算与模块化形式联系起来,这是一个主要在20世纪发展起来的理论。这是一种现代数学的绝对理论,我们将在本文稍后扩展这一主题。

12岁时,他从一位朋友那里借用了一本关于平面三角法的书,由剑桥大学出版社于1894年出版。这本书远远超出了高中三角学,也涉及到微积分的基本原理。但改变他一生的书是卡尔的书,题为“ 纯数学和应用数学的初级成果简介”。本书汇编了6,165个定理,系统安排,但几乎没有证据。这本书并不是一本杰出的书,拉马努扬用它来推动自己进入20世纪数学的中心舞台,这本书令人惊叹。卡尔大学的学生在剑桥大学为数学的入学考试做准备的时候很大程度上使用了它。拉马努扬用这本书掌握了18世纪和19世纪的所有数学。他着手展示本书的每一个断言,只用他的石板来做计算。他会记下要证明的公式,然后用手肘擦掉它,然后继续记下更多的公式。通过这种方式,他完成了整本书。人们曾经说过他的“受伤的手肘”。可悲的是,他把卡尔的“ 作为数学写作的典范,留下了他着名的含有许多公式的笔记本,但几乎没有证据。许多数学家已经把它作为一个行业来证明Ramanujan在他的笔记本上潦草写下的这些公式,因为他没有任何暗示他是如何得到它们的。

吉祥坊app 1903年,Ramanujan进入Kumbakonam的政府学院。不幸的是,他考试失败,因为他忽视了他的非数学科目。在大学

四年后,他进入了钦奈的另一所大学,发生了同样的事情。最后,在1912年,他在马德拉斯港信托办公室担任职员。在这里,他的职责很轻松,所以他可以投入大量的时间来发现他的数学发现 – 他在他现在着名的笔记本中记录了这些发现。幸运的是,办公室经理SN Aiyar也是一位数学家,他对Ramanujan表示友好并鼓励他的数学。正是他向Ramanujan建议他写信给剑桥大学三一学院的着名数学家GH Hardy。

Ramanujan在1913年着名的哈代信中附有120个定理作为他的工作的代表性样本。哈代在他自己的研究工作中已经看到了这些公式中的一些。但许多其他的公式,他没有。他花了两个多小时才分析这封信,以确定它是由曲柄还是天才写的。他与三位一体学院的杰出同事JE Littlewood进行了磋商,他们一起坐了三个小时。最后他们得出结论,这是一位天才的工作。哈代写道:“他们必须是真实的,因为如果他们不是真的,没有人会想象发明他们。”有了这份批准证书,Ramanujan被邀请到三一学院与哈代合作。

去英格兰

Ramanujan于1914年3月在第一次世界大战爆发前的几个月前往英国。从1914年到1917年,Hardy和Ramanujan合作了六十多份研究论文。同时,Ramanujan在三年内发表了30多篇研究论文。这些协作中最值得注意的是分区功能。这个函数计算一个自然数可以分解成更小的部分的方式的数量。Hardy和Ramanujan开发了一种新方法,现在称为圆方法,以推导出该函数的渐近公式。如果分析拉马努扬给哈代的第一封信,我们已经在印度港口信托局的印度工作中发现了一种暗示。这种方法现在是分析数论的核心工具之一,它主要负责20世纪哥德巴赫猜想,韦林猜想和其他附加问题等众所周知的难题的重大进展。圆方法及其改进构成了当前研究的一个非常大的领域,并且在21世纪可能会继续如此。

Hardy和Ramanujan的另一篇基础论文涉及现在称之为“正规顺序法”的问题。该方法分析了加法算术函数的行为。在他们的论文中,Hardy和Ramanujan表明随机自然数通常具有log log n主要因素。他们的论文导致创建一个全新的数学领域,称为概率数论。在20世纪,它主要由P. Erdos,M. Kac和J. Kubilius开发。

地标纸

但真正改变20世纪数学进程的论文是1916年Ramanujan写的一篇文章,标题是“关于某些算术函数”。在本文中,Ramanujan研究了模块化形式的傅立叶系数的性质。那时模块化表格理论还没有发展起来。然而,拉马努扬阐述了三个基本的猜想,它们是理论发展的指导力量。

事实上,他的前两个猜想导致了现在所谓的Hecke理论的发展,该理论是由Hecke于1936年在Ramanujan的论文20年后提出的。许多人会听说费马的最后一个定理,以及这是如何在1994年由A. Wiles解决的。但很少有人知道威尔斯在解决问题时以一种重要的方式使用了Hecke的理论。

然而,这是拉马努扬三次猜测中的最后一次,在20世纪的数学中引起轰动。这种猜想,后来被称为拉马努扬的猜想,在被称为Langlands计划的高耸大厦中发挥了关键作用,这是RP Langlands在70年代阐述的一个深远的计划。这个程序把两个看似不同的数学领域,即表示论和数论联系起来。但是拉曼努扬的第三个猜想的证明是通过另一条在代数几何与数论之间的另一条路线,在关于有限域上方程解的数量的A. Weil的一般猜想框架内。Weil的猜想在1974年由P. Deligne解决,他因此获得了菲尔兹奖章(数学上相当于诺贝尔奖)。Ramanujan的第三个猜想原来是Weil猜想的一个特例。现在Ramanujan的猜想被看作是一个更广谱猜测的谱线,现在称为广义Ramanujan猜想。

给哈代的最后一封信

如果Ramanujan的1916年论文引发了模块化形式理论的发展,他写给1920年的最后一封写给哈代的信中提到了一个新的“模拟theta函数”理论,现在正在创造更大的感觉21世纪数学的发展。事实上,20世纪大部分时间Ramanujan的模拟theta函数理论在很大程度上被忽略,并在零星的论文中进行了讨论。部分难题是Ramanujan对模拟Theta函数的模糊定义。事实上,他从来没有定义过它们。相反,他列举了这些新功能的17个典型例子,并对它们进行了总体猜测。许多数学家试图证明这些猜测没有适当的理论。在很大程度上,他们成功地证明了Ramanujan的大部分“ 的猜测。然而,统一的概念框架不见了。这个框架最近才在2002年在S. Zwegers的博士论文中发现,该论文是在D. Zagier的指导下编写的。本论文为模拟模块形式的新理论奠定了基础。

我们现在理解拉马努扬关于模拟theta函数的理论是一个更大的模拟模块形式理论的特例。这些对象是模块化形式的概括,因此包括Hecke的经典理论作为一个特例。模拟模块化形式的丰富理论已经带来了新的数学成果,J. Bruinier,J. Funke,K. Bringman和K. Ono最近的一些突破性成果就证明了这一点。例如,Bruinier和Ono最近使用模拟模块形式的理论推导了分区函数的代数公式。M. Dewar和R. Murty注意到,这个Bruinier-Ono公式可以用来推导分配函数的Hardy-Ramanujan公式,从而避免了复杂的圆法。这些新观点绝对是冰山一角,隐藏了更多的数学真理。

1987年,着名的物理学家弗里曼戴森预言:“模拟theta函数给我们诱人的宏大合成提示还有待发现。应该有可能将它们构建成一个连贯的群体理论结构,类似于Hecke围绕雅可比的旧西塔功能所建立的模块化形式的结构。这仍然是未来的挑战。“

预兆

事实上,戴森的预测是正确的。理论的最新进展只是未来更大事件的预示。一旦模拟模块形式的理论已经到位,将理论与Langlands的大型项目结合起来只是一个时间问题。这可能是微妙的,不应该太快,以免我们错过沿途的风景美景。不过,这是未来的方向。因此,拉马努扬的着作在20世纪数学的发展中发挥了重要作用,他的最终着作正在成为本世纪数学的灵感。

我们不知道拉马努扬如何发现他的定理。在这一点上,哈代写道:“这是他对代数公式的理解,无限系列的变换等,这是最令人惊叹的。在这方面,我绝对没有见过他的平等,我只能把他与欧拉或雅可比比较。通过数值例子的归纳,他的工作远远超过了大多数现代数学家; 例如,所有分区的一致特性都是以这种方式发现的。但是凭借他的记忆力,耐心和他的计算能力,他结合了一种泛化的力量,一种形式的感觉,一种能够快速修改他的假设的能力,而这种能力通常真的令人吃惊,并且让他在他自己特有的领域里,在他的日子里没有对手。“

文化遗产

但超越数学遗产,拉马努扬留下了文化遗产。他出现在英国殖民统治的印度之中,现在成为印度的标志性象征,印度正在重新发现自己,这是一个在20世纪崛起的印度。这意味着科学和教育将得到恢复和活力,以迎接新的独立印度的挑战。拉马努詹在这种复兴中的作用最好用诺贝尔奖得主苏布拉亚尼姆钱德拉塞卡尔的话来描述,他在1987年拉马努扬诞辰100周年的时候写道:“1920年4月肯定是一天,当时我还不到十岁,当我母亲告诉我当天的报纸上有一件着名的印度数学家Ramanujan的名字前一天去世的消息时,她进一步告诉我说,拉马努扬几年前去过英格兰,曾与一些着名的英国数学家合作,而且他最近才回来,并因其所取得的成就而享誉国际。尽管当时我不知道什么样的数学家拉马努詹是什么样的人,或者科学成就是什么意思,但我仍然可以回想起我对在类似于我自己的情况下所提出的那种保证能够达到的高兴,我无法理解。我相信其他人也同样感到高兴。我希望你们不难想象拉马努扬的例子能为当时的年轻男女提供什么,开始以越来越不同的看法看待世界。Ramanujan’

用钱德拉塞卡的话来说,我们看到了拉马努扬留下的显着遗产。钱德拉塞卡的生活同样充满艰辛。他出生在与Ramanujan一样的乡村环境中,后来在剑桥学习,并成为20世纪领先的天体物理学家,最终于1983年被授予诺贝尔奖。事实上,他飙升了Ramanujan的方式。

但一个科学家不属于任何国家。来自世界各地的许多科学家作证说,他们从拉马努詹的生活故事中获得灵感。对于拉马努亚来说,它体现了人类思想的奇妙奇迹来构思概念,并用公式和符号作为思想工具来深入探究宇宙的奥秘和自身存在的奥秘。只要探究的精神是活着的,他的遗产就会从一代传到下一代。

(M. Ram Murty是加拿大安大略省金斯敦皇后大学数学系教授兼主任V. Kumar Murty是加拿大安大略省多伦多市多伦多大学数学系教授兼主任 吉祥坊安全官网。)

Leave a Reply

avatar
  订阅  
通知

现在输入激动!

吉祥体育官方网站

猜你喜欢

现在输入激动!

吉祥体育官方网站